Як знайти диференціал

Диференціал ... Для одних це прекрасне далеке, а для інших - незрозуміле слово, пов'язане з математикою. Але якщо це ваше суворе сьогодення, наша стаття допоможе дізнатися, як правильно "приготувати" диференціал і з чим його "подавати".

Під диференціалом в математиці розуміють лінійну частину приросту функції. Поняття диференціала нерозривно пов'язане із записом похідною згідно Лейбніца f? (X₀) = Df / dx · x₀. Виходячи з цього, диференціал першого порядку для функції f, заданої на множині X, має такий вигляд: d_x0f = f? (x₀) · D_x0x. Як бачите, для отримання диференціала потрібно вміти вільно знаходити похідні. Тому незайвим буде повторити правила обчислення похідних, щоб розуміти, що відбуватиметься надалі.

Отже, розглянемо диференціювання ближче на прикладах. Потрібно знайти диференціал функції, заданої в такому вигляді: y = x³-x⁴. Спочатку знайдемо похідну від функції: y? = (X³-x⁴)? = (X³)? - (X⁴)? = 3x²-4x³. Ну, а тепер отримати диференціал простіше простого: df = (3x³-4x³) · Dx. Зараз ми отримали диференціал у вигляді формули, на практиці часто також цікавить цифрове значення диференціала при заданих конкретних параметрах х та? Х.

Бувають випадки, коли функція виражена неявно через х. Наприклад, y = x? -y^x. Похідна функції має такий вигляд: 2x- (y^x) ?. Але як отримати (y^x) ?? Така функція називається складною і диференціюється згідно відповідного правила: df / dx = df / dy · dy / dx. В даному випадку: df / dy = x · y^x-1, а dy / dx = y ?. Тепер збираємо все воєдино: y? = 2x- (x · y^x-1· Y?). Групуємо всі ігреки в одній стороні: (1 + x · y^x-1) · Y? = 2x, і в результаті отримуємо: y? = 2x / (1 + x · y^x-1) = Dy / dx. Виходячи з цього, dy = 2x · dx / (1 + x · y^x-1). Звичайно, добре, що такі завдання зустрічаються нечасто. Але тепер ви готові і до них.

Крім розглянутих диференціалів першого порядку, ще існують диференціали вищого порядку. Спробуємо знайти диференціал для функції d/ D(X³) ·(X³-2x⁶-x⁹), Який і буде диференціалом другого порядку для f (x). Виходячи з формули f? (U) = d / du · f (u), де u = f (x), приймемо u = x³. Отримуємо: d / d (u) · (u-2u²-u³) = (U-2u²-u³)? = 1-4u-3u². Повертаємо заміну і отримуємо відповідь - 1-x³-x⁶, x? 0.

Помічником у знаходженні диференціала також може стати онлайн-сервіс. Природно, що на контрольній або іспиті їм не скористаєшся. Але при самостійній перевірці правильності рішення його роль важко переоцінити. Крім самого результату, він також показує проміжні рішення, графіки та невизначений інтеграл диференціальної функції, а також коріння диференціального рівняння. Єдиний недолік - це запис в один рядок функції при введенні, але з часом можна звикнути і до цього. Ну, і природно, такий сервіс не справляється зі складними функціями, але все, що простіше, йому по зубах.

Практичне застосування диференціал знаходить в першу чергу у фізиці та економіці. Так, у фізиці часто дифференцированием вирішуються завдання, пов'язані з визначенням швидкості і її похідною - прискорення. А в економіці диференціал є невід'ємною частиною розрахунку ефективності діяльності підприємства і фіскальної політики держави, наприклад, ефекту фінансового важеля.

У цій статті розглянуті типові завдання диференціювання. Курс вищої математики учнів ВНЗ найчастіше містить ще завдання на використання диференціала в наближених обчисленнях, а також пошук рішень диференціальних рівнянь. Але головне - при чіткому розумінні азів ви з легкістю розправитися з усіма новими завданнями.